让数学教育回归“数学”
摘要
很长时间以来，我们一味地追求数学课堂的精湛的教育技艺，尤其是公开课，几乎成了教育技艺的表演课。但是我认为这样的课过于注重了数学教育的教育方面，而忽视了数学教育的数学方面。其实，数学教育的教育方面和数学方面是数学教育中的一对基本矛盾，只有当这对矛盾对立统一，也即相对平衡时，数学教育就达到了相对完美。
关键词
回归 教育方面 数学方面
一位实习老师执教二年级的《角的初步认识》，她是这样导入的：
师［举起一个红色的★］：这是什么？
生：五角星。
师：为什么叫它五角星呢？
生：因为它有五个角。
师：你真聪明。
显然这位老师非常注重教育方法的选择，用学生喜欢的红色五角星来唤醒学生原有的关于“角”经验，激活学生认知与情感的需要，从而为课题的引入作了积极的准备。然而从数学的角度来审视，我认为这样的导入是欠妥的。“★”之所以被称为五角星，是因为它五个向外凸出的“角”，这个“角”就是人们一开始所认识的尖尖的锐角。但是根据我们现在对角的概念界定，“★”上还有其它的角。那么老师的一句“你真聪明”就向学生传达了一个错误的信息：“★”上只有五个角。这样，老师无意识地将角的外延缩小了，误导了概念的学习。
其实，数学教育的教育方面和数学方面是数学教育中的一对基本矛盾，当这对矛盾对立统一，也即相对平衡时，数学教育就达到了相对完美。但是纵观现在的小学数学教育，数学学科教育的理论研究与实践得到了充分的重视和弘扬，但对数学的本质、发展等问题的关注却相对滞后，从而导致数学教育的失衡。因此，我认为数学教育应该回归数学。
一、 充分张扬数学的个性
与其说是学习数学，不如说是学习‘数学化’。——弗赖登塔尔
正如每个孩子都有自己的个性一样，数学也是极具个性的。严密的逻辑使她精确，高度的抽象使她深邃，广泛的应用使她美丽。数学教育中要让数学的个性得到充分的张扬，在小学阶段尤其要凸显数学的应用意识。因此在开发课程时，要有意识地选择生活中的问题或素材，让学生学着用数学的方法去观察、思考，尝试为这些问题构建数学模型，最终实现现实问题的数学解决， 即“数学地思维”。
●案例链接一：编码问题
在临近毕业的时候，我给孩子们设计了《数学地思考》这一活动课程，其中有一个给借书卡编码的问题，实录如下：
师：学校的图书馆已经建立了图书管理系统，为了同学们借书更方便，学校决定给每个同学设计一张借书卡。不过在设计之前呢，我们很想听听同学的意见，在这张借书卡上要设计一些什么呢？
生1：我们认为这张卡上要有年级、班级、姓名。
生2：我们认为还要有办卡时间和有效期。
生3：我们觉得现在都实行电脑管理了，所以借书卡应该有卡号。
师：你这个建议不错，我们很感兴趣。你们会设计借书卡号吗？（会。）
师：那好，请大家给王敏同学设计一张借书卡，你们想知道一些什么？
生1：我想知道年级和班级。
生2：我想知道性别。
生3：我还想知道她的学号。
生4：我想知道办卡的时间？
教师一一告诉相关信息。随后组织尝试、交流。
生1：我们设计的卡号是035171324。其中的03517表示办卡时间，1表示年级，3表示班级，24表示学号。
生2：我们设计的卡号是20035171324，后面部分跟他们一样，主要区别在年份上，我们觉得在世纪之交用四位数来纪年更科学一些。
师：你们很细心。
生3：对前两种方法还有一个改进意见，就是月份用05表示，因为一年有12个月，如果只用一位数表示的话那么10到12月就没法表示了。
师：前面两组同学同意吗？
生1、2等：同意。
生4：我们设计的卡号是2002132420030517，2002表示她的入学年份，因为如果只用13来表示年级和班级的话，这张卡到王敏二年级的时候就不能用了，这样每年都要换一张卡，太麻烦了。
师：你们想得很周到。
生5：我想提个意见，既然用了入学年份，就不用1了，有两个理由，第一是再写就重复了，第二到二年级的时候就不怎么好说了，所以王敏的卡号用200232420030517。
生6：我也有个意见，办卡时间就不用了，因为我想既然我们是一起办卡的，也就没有区分的必要了，所以王敏的卡号应该用2002324。
师：你们觉得呢？
生7：我支持他的意见，能够简单就简单一些。
生8：我觉得办卡时间可以用，因为今年我们一起办了卡，但是明年也有人办卡的。
师：究竟谁的意见是正确的，现在，我们全体同学就可以分成两个队，就此进行辩论。
生9：我不同意，就算明年有人办了卡，也不会跟今年办卡的同学混淆，所以也就没什么价值。
生10：我觉得办卡日期可以用，因为这张借书卡对我们来说，最多只有六年的有效期，办卡日期有助于电脑识别这张卡是不是过了有效期。
师：［对生9］我支持你们的意见，有了入学年份，有效期的问题就可以解决了。
师：刚才同学们用入学年份、班级、学号来给借书卡编号的方法对我们很有启发。但是回过头来再想想，为什么要给借书卡编码呢？
生1：现在图书馆借书和还书的时候都用电脑，那个探头一照就可以照出来了。
生2：我觉得用卡号比较简便，如果用汉字，要用十几个汉字才能表示，但用卡号的话，只要几个数字就可以表示清楚了。
生3：编码给我们带来很多方便，尤其是节省时间。
师：看来你们都深有体会。你曾经在哪些地方见到编码？
生1：爸爸的工作服上有工号。
生2：手机号码、电话号码都是编码。
生3：邮政编码也是。
生4：身份证上也有编码。
生5：超市里的商品的包装袋上也有编码。
生6：书本后面也有编码。
……
设计给借书卡编号这一实际问题，让学生知道数学来源于实践又反过来作用于实践这样一个事实。在后续片断中，又介绍了国际标准书号和中国标准书号的意义，把数学的应用功能进一步放大。课后很多学生跟我说：“数学地思考真好！”
二、 极力追溯历史的渊源
数学学习即是对由文化历史所传递给我们的数学作出意义赋予的过程。——冯·奥尔斯
数学对象的认识是一个建构的过程，而实现有意义建构的前提是给数学的形式“意义赋予”，也即个性化的解释活动。如何让“意义赋予”的过程承载人类思维中生动活泼的意念，洒满人性的光辉， 我认为应该让数学学习回到历史的源头、思维的原点，即找寻数学的“根”，因为它是继承与创新的支点。
●案例链接二：认识比号（《比的意义》教学片断及反思）
教师让学生自己创造比号，学生创造了各种各样的比号。
师：你们说得都很有道理。在17世纪，数学家莱布尼兹认为：两个量的比，包含有除的意思，但又不能占用“÷”，于是，他把除号中间的小短线去掉，用“∶”表示。
生：那除号中间的小短线做了什么符号？
师：你这个问题提得很好，有哪位同学能够解答这个问题？
生1：我想大概是做减号去了。
生2：我认为有可能就是分数线，因为除法和分数有联系。
生1：除法跟减法也有联系的。一个数连续减去几个相同的数，也可以用除法做。
生3：我认为除号中的那根小短线是去做分数线了。因为我想减号应该比除号早出现，数学家可能也是看到了除法与减法的联系，所以在“－”的上下分别加上两个点，成为“÷”，而后来又出现了分数和比，于是除号就分解成了分数线和比号。
师：听你的分析好像很有道理，你是怎么知道这些的？是课外资料中获得的？
生3：不是的，在他们两个争论的时候，我突然想到的。
师：原来是灵感闪现，它的真实性还没有得到确证，数学史上关于这几个符号的发展到底是怎样的，你们想不想知道？
生：想。
师：给你们一个建议：利用你手头的课外资源，例如课外书、图书馆、网络等好好查阅一下，下一次我们再讨论好吗？
尽管很多的时间花在了争论跟本堂课内容联系不是很多的符号发展史上，但我认为这样做是值得的。讨论的过程不仅激发了学生对数学的兴趣和对数学文化探究的欲望，而且正渐渐引领他们走近比号的“根”。而我们知道，根是大树的生命之本，从这个意义上来说，把根培育得生机勃勃不就就等于收获了整个生命吗？
l 案例链接三：毕达哥拉斯与正方形数
在教学计算1+3+5+7+9时，我也曾设计了这样一个片断：
师：请同学们算一算这道题，看谁想的方法最多。
学生想了多办法，例如直接相加，首尾配对相加等，我对此一一做了肯定，然后增加难度，计算：1+3+5+7+…+（2N-1）。
学生面面相觑。
师：感到有难度，是吗？那么就让我们一起来想办法。谁能用笔把1+3+5用最简单的图表示出来？
学生画了各种各样的图，我也画了一副点阵图，不过没有告诉他们是我画的。把师生的图都放在展示台上，大家评选最好的图。最后大家都认为我的那副点阵图最简洁。
师：那么就请你们用这样的方法画出1+3+5+7，1+3+5+7+9。你们发现了什么规律？
学生能过讨论发现：从1开始的连续奇数相加的和等于首末两数和的平均数的平方，即1+3+5+7+…+（2N-1）＝N2
尽管计算从1开始的几个连续奇数的和的方法有很多，甚至还有现成的公式可用，但是没有根基的大厦是不能经历风雨的，所以我引领学生回到毕达哥拉斯用小石子摆成的正方形数的“根”上去，在不断地实践中发现数学规律，习得数学的思想方法。
三、 用心感悟美的真谛
数学，如果正确地看它，不但具有真理，而且也有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。——罗素
数学是美的！这是我几年中大量涉猎数学得到的结论之一。数学独具的简洁美（抽象美、符号美、统一美）、和谐美（对称美、形式美等）、奇异美（有限美、神秘美等）深深地震撼了我的心灵。数学学习的过程让我自由地漫步美的境界，数学所揭示的美学规律又使我对美的鉴赏更为深刻，而对美的追寻正引领着我的数学学习不断深入，这就是美的力量。
“爱美之心，人兼有之。”于是，我把这种美带进课堂，与学生一起分享。
●案例链接四：追问比的文化意义，体验美的历程（《比的意义》教学片断）
1、 走进美学实验
教师出示13×8、12×4、13×21、15×9、5×8、12×20、15×18、21×34的长方形，请学生投票选出最美的长方形。
［学生评出21×34、13×21、13×8、5×8是最美的长方形］
师：其实这个实验早在100多年前，德国著名的心理学家费希纳就做过了。他设计了许多各种比例的的长方形做成展览，请他的592位朋友来参观，并投票选出最美的长方形。结果跟你们一样，21×34、13×8、13×21、5×8被评为最美的长方形。这难道是巧合吗？（不是）
2、探索美学规律
师：为什么在大家的心理感觉上，公认为这些长方形是最美的长方形？请大家分组算出这些长方形的长和宽的比值，用小数形式表示，除不尽的保留三位小数。（0.618）
师：请大家记住0.618，因为它是美学史和数学史上的非常著名的“黄金数”。很多作品之所以美丽，就是因为它的某些部分跟整体的比值等于或接近于0.618。例如维纳斯女神的雕像，肚脐眼以下部分与身高的比值是0.618；芭蕾演员踮起脚尖，就是为了让下体与身高的比值接近于0.618……你还知道其它的例子吗？同学们还可以通过课外阅读的方式了解更多这方面的知识，如果有兴趣的话，下一次我们专门开一个这样的交流会，好吗？
●案例链接五：走近“黄金数” （《比的意义》教学片断及反思）
生：0.618只是一个近似数，黄金数是一个精确值吗？
师：看来你很适合当记者，提问题很有深度。算了，我只好把底都交给你们了。
［生齐笑］
师［板书 ］：这就是黄金数的精确值。
［生很疑惑，因为他们不认识］
师［很善解人意地］：这个 是无理数，将来你们会接触到。当然平时度量黄金分割点时，是不可能那么精确的。如果你觉得用小数计算时不够方便，那倒还有一个办法。
生［眼睛一亮］：什么办法？
师：大家还记得以前给你们介绍过的裴波那契兔子数列吧？
生：记得，是1，1，2，3，5，8，13，21，34，……
师：现在我们把相邻两项的数组成真分数，得到一个新的数列： 、 、 、 、 、 、……这就是黄金数的渐近数列，你可以根据精确度需要选择一个合适的数。
“黄金分割”是一个美学概念，学生的提问把数学课堂向美学推进了一步。如果要他们回到数学中来，也很容易，例如给出 ，丢下一句：现在不懂，将来会懂的，也就行了。但是这时孩子对美的体悟和渴望已经达到顶峰，如果草草收场，那么数学美的博大精深如何得到体现？所以我又把话题引到裴波那契数列上来，从更实用的角度沟通了数学与美学的联系，让学生充分领悟到数学美的奇异。
后记：“数学使人聪明”，“数学令人精确”，“数学让人完美”。当我一口气写完这一篇时，心灵再一次得到洗礼，对数学教育的理解再一次得到充实。我想只有不停地实践，才能不断地完善。让我们一起为小学数学教育祈祷祝福吧！
